Question

15．已知函数f（x）=k-|x-3|，k∈R，且f（x+3）≥0的解集为[-1，1]．
（1）求k的值；
（2）若a，b，c∈R，且$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=k$，求证：a+2b+3c≥9．

Answer 1

分析 （1）f（x+3）≥0等价于k-|x|≥0，等价于-k≤x≤1．再根据 f（x+3）≥0的解集为[-1，1]，可得k的值
（2）由条阿金可得不等式的左边为（a+2b+3c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$ ），再利用柯西不等式求得它的最小值为9，从而证得不等式成立．

解答 解：（1）由题意可得 f（x+3）=k-|x|，f（x+3）≥0等价于k-|x|≥0，
等价于|x|≤k，即-k≤x≤1．
再根据 f（x+3）≥0的解集为[-1，1]，可得k=1．
（2）∵$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=k=1，∴（a+2b+3c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$ ）≥${（\sqrt{a}•\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{2b}•\frac{1}{\sqrt{2b}}+\sqrt{3c}•\frac{1}{\sqrt{3c}}）}^{2}$=9．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．