Question

（2007•宝坻区二模）双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为2

6

，相应于焦点F（c，0）（c＞0）的准线l与x轴交于点A，且|OF|=3|OA|．过点F的直线与双曲线交于P、Q两点．
（Ⅰ）求双曲线的方程及离心率；
（Ⅱ）若

AP

•

AQ

=0，求直线PQ的方程．

Answer 1

分析：（I）利用a，b，c的关系和离心率计算公式即可得出；
（II）把直线方程与双曲线的方程联立得到△＞0及根与系数的关系、向量的数量积运算即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由题意，设曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
由已知

a2+5=c2 c=3 a2 c

解得a=

3

，c=3
∴双曲线的方程这

x2

3

-

y2

6

=1，离心率e=

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（1，0），F（3，0），
当直线PQ与x轴垂直时，PQ方程为x=3．此时，

AP

•

AQ

≠0，应舍去．
当直线PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=（ x-3 ）．
由方程组

x2 3 - y2 6 =1 y=k(x-3)

得 （k²-2）x²-6k²x+9k²+6=0
由一过点F的直线与双曲线交于P、Q两点，则k²-2≠0，即k≠±

2

，
由于△=36k⁴-4（k²-2）（9k²+6）=48（k²+1）＞0即k∈R．
∴k∈R且k≠±

2

（*）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

x1+x2= 6k2 k2-2 (1) x1x2= 9k2+6 k2-2 (2)

由直线PQ的方程得y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）
于是y₁y₂=k²（x₁-3）（x₂-3）=k²[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]（3）
∵

AP

•

AQ

=0，∴（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=0
即x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=0     （4）
由（1）、（2）、（3）、（4）得

9k2+6

k2-2

-

6k2

k2-2

+1+k2(

9k2+6

k2-2

-3

6k2

k2-2

+9)=0
整理得k²=

1

2

∴k=?

2

2

满足（*）
∴直线PQ的方程为x-

2

y-3=0或x+

2

y-3=0

点评：熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题转化为把直线方程与双曲线的方程联立得到△＞0及根与系数的关系、向量的数量积运算等是解题的关键．