Question

已知单调递减的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=

26

27

，且a₃+

4

27

是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的前n项和为S_n，求满足不等式

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

成立的所有正整数m，n组成的有序实数对（m，n）．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）设等比数列{a_n}的公比q，由等差中项的性质及题设条件求出a₃的值，从而求得a₁、q的值，则数列{a_n}的通项公式可求；
（2）求出等比数列{a_n}的前n项和为S_n，代入

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

化简，根据不等式的结构特征利用正整数的条件解不等式．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q（q≠0），
∵a₃+

4

27

是a₂，a₄的等差中项，∴2（a₃+

4

27

）=a₂+a₄，即2a₃+

8

27

=a₂+a₄．
又a₂+a₃+a₄=

26

27

，∴a₃=

2

9

，
∴a₂+a₄=

a3

q

++a₃q=

2

9q

+

2

9

q=

20

27

，解得q=

1

3

或q=3．
又{a_n}是递减的等比数列，q=

1

3

，a1=

a3

q2

=

2 9

1 9

=2．
∴{a_n}的通项公式a_n=2•

1

3n-1

；
（2）由（1）得，Sn=

2(1- 1 3n )

1- 1 3

=3-

1

3n-1

，
由

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

，得

3- 1 3n-1 -m

3- 1 3n -m

＜

3m

3m+1

，
即

3n(3-m)-3

3n(3-m)-1

＜

3m

3m+1

，也就是

2

3n(3-m)-1

＞

1

3m+1

．
∵3^m+1＞0，∴3ⁿ（3-m）＞1，
则m＜3，且1＜3ⁿ（3-m）＜2•3^m+3．
∵m∈N^*，∴m=1或2，
当m=1时，有1＜2•3ⁿ＜9，n=1；
当m=2时，有1＜3ⁿ＜21，n=1或n=2．
综上，存在所有符合条件的实数对（m，n）为（1，1），（2，1），（2，2）．

点评：本题考查了等比数列的通项公式与数列求和的错位项减法等知识，也考查了一定的运算能力，根据不等式的结构特征利用正整数的条件解不等式是解答（2）的关键，属难题也是易错题．