[题目]如图所示.在直角坐标系中.点到抛物线的准线的距离为.点是上的定点..是上的两个动点.且线段的中点在线段上.(1)抛物线的方程及的值,(2)当点.分别在第一.四象限时.求的取值范围. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图所示，在直角坐标系中，点到抛物线的准线的距离为，点是上的定点，、是上的两个动点，且线段的中点在线段上.

（1）抛物线的方程及的值；

（2）当点、分别在第一、四象限时，求的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）求得抛物线的准线方程，由抛物线的定义可求出的值，可得抛物线的方程，代入的坐标，可得的值；

（2）求得的坐标，设出直线的方程，代入抛物线的方程，消去，可得的二次方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得的范围，运用直线的斜率公式，化简整理配方，由二次函数的值域可得所求范围．

（1）抛物线的准线方程是，

所以，解得，所以抛物线的方程为.

又点在抛物线上，所以；

（2）由（1）知，，直线的方程为，故，即点.

由题意，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，

由，消去，得，

设、，则，，

因为，所以，，

由，得，

所以，

因为，所以，，，

因此，的取值范围是.

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（Ⅱ）已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点，延长直线AF1，AF2分别与椭圆交于点B，D，设直线BD的斜率为k1，直线OA的斜率为k2，求证：k1·k2等于定值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）由题意可求得，则，椭圆的方程为.

（Ⅱ）设，，

当直线的斜率不存在或直线的斜率不存在时，.

当直线、的斜率存在时，,设直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理计算可得直线的斜率为，直线的斜率为，则.综上可得：直线与的斜率之积为定值.

（Ⅰ）设由题，

解得，则，椭圆的方程为.

（Ⅱ）设，，当直线的斜率不存在时，

设，则，直线的方程为代入，

可得，，则,

直线的斜率为，直线的斜率为，

，

当直线的斜率不存在时，同理可得.

当直线、的斜率存在时，设直线的方程为，

则由消去可得：，

又，则，代入上述方程可得:

，，

则，

设直线的方程为，同理可得，

直线的斜率为

直线的斜率为， .

所以，直线与的斜率之积为定值，即.

【点睛】

(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

【题型】解答题
【结束】
21

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