【题目】函数.
(1)讨论的单调性;
(2)设,证明: .
【答案】(1)(1)当时, 在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数;(2)当时, 在上是增函数;(iii)当时, 在是上是增函数,在上是减函数,在上是增函数;(2)详见试题分析.
【解析】试题分析:(1)首先求函数的定义域, 的导数: ,再分, , 三种情况,讨论函数的单调性;(2)先在(1)的基础上,当时,由的单调性得.同理当时,由的单调性得.下面再用数学归纳法证明.
(1)的定义域为.
(1)当时,若,则在上是增函数;若则在上是减函数;若则在上是增函数.
(2)当时, 成立当且仅当在上是增函数.
(iii)当时,若,则在是上是增函数;若,则在上是减函数;若,则在上是增函数.
(2)由(1)知,当时, 在是增函数.当时,,即.又由(1)知,当时, 在上是减函数;当时,,即.下面用数学归纳法证明.
(1)当时,由已知,故结论成立;
(2)假设当时结论成立,即.当时, ,即当时有,结论成立.根据(1)、(2)知对任何结论都成立.
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【题目】如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1 , 底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点.
(1)求的长;
(2)求cos()的值;
(3)求证A1B⊥C1M.
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【题目】以下三个关于圆锥曲线的命题中:
①设A、B为两个定点,K为非零常数,若|PA|﹣|PB|=K,则动点P的轨迹是双曲线.
②方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.
③双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点.
④已知抛物线y2=2px,以过焦点的一条弦AB为直径作圆,则此圆与准线相切.
其中真命题为 (写出所以真命题的序号)
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【题目】在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,1),B(2,0),| |=1.
(1)求 与 夹角;
(2)若 与 垂直,求点C的坐标;
(3)求| + + |的取值范围.
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【题目】已知椭圆的中心和抛物线的顶点都在坐标原点, 和有公共焦点,点在轴正半轴上,且的长轴长、短轴长及点到直线的距离成等比数列。
(Ⅰ)当的准线与直线的距离为时,求及的方程;
(Ⅱ)设过点且斜率为的直线交于, 两点,交于, 两点。当时,求的值。
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【题目】微信运动和运动手环的普及,增强了人民运动的积极性,每天一万步称为一种健康时尚,某中学在全校范围内内积极倡导和督促师生开展“每天一万步”活动,经过几个月的扎实落地工作后,学校想了解全校师生每天一万步的情况,学校界定一人一天走路不足千步为不健康生活方式,不少于千步为超健康生活方式者,其他为一般生活方式者,学校委托数学组调查,数学组采用分层抽样的办法去估计全校师生的情况,结合实际及便于分层抽样,认定全校教师人数为人,高一学生人数为人,高二学生人数人,高三学生人数,从中抽取人作为调查对象,得到了如图所示的这人的频率分布直方图,这人中有人被学校界定为不健康生活方式者.
(1)求这次作为抽样调查对象的教师人数;
(2)根据频率分布直方图估算全校师生每人一天走路步数的中位数(四舍五入精确到整数步);
(3)校办公室欲从全校师生中速记抽取人作为“每天一万步”活动的慰问对象,计划学校界定不健康生活方式者鞭策性精神鼓励元,超健康生活方式者表彰奖励元,一般生活方式者鼓励性奖励元,利用样本估计总体,将频率视为概率,求这次校办公室慰问奖励金额恰好为元的概率.
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【题目】△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示三角形的面积,若asinA+bsinB=csinC,且S= ,则对△ABC的形状的精确描述是( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰或直角三角形
D.等腰直角三角形
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