Question

如图，△AOB是边长为2的正三角形，设直线x=t截这个三角形所得到位于此直线左方的图形面积为S，求S=f（t）的解析式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：根据t所在的范围进行讨论，从而得到阴影部分的面积．

解答： 解：当0＜t≤1时，阴影部分为三角形，
设OB所在直线方程为y₁=kx，
由题可知B（1，√3），带入直线方程得

3

=k，
OB所在直线方程为y₁=

3

x，
所以阴影部分面积为y=

3

2

t²，
当1＜t＜2时，阴影部分为四边形，
设AB所在直线为y₂=kx+b，
由题知A（2，0）B（1，

3

）带入方程得，
2k+b=0 ①

3

=k+b ②
联立①②，解得k=-

3

b=2

3

，
所以方程为y₂=-

3

x+2

3

，
所以阴影部分面积为y=2

3

t-

3 t2

2

-

3

，
当t≥2时，面积就为△OAB面积即y=

3

；
当t＜0时，无面积，即y=0．
∴S=f（t）=

3 2 t2(0＜t≤1) 2 3 t- 3 t2 2 - 3 ，(1＜t＜1) 3 ，(t≥2)

．

点评：本题考查了求函数的解析式问题，考查了分类讨论思想，考查了三角形的面积根式，是一道中档题．