Question

【题目】如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为12，腰长为4 ，当一条垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分．

（1）令BF=x（0＜x＜12），试写出直线右边部分的面积y与x的函数解析式；
（2）在（1）的条件下，令y=f（x）．构造函数g（x）= ．
①判断函数g（x）在（4，8）上的单调性；
②判断函数g（x）在定义域内是否具有单调性，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：过点A．D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H．

∵ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB=4 cm，

∴BG=AG=DH=HC=4cm，

又∵BC=12cm，

∴AD=GH=4cm，

①当点F在BG上时，

即x∈（0，4]时，f（x）=32﹣ x2；

②当点F在GH上时，

即x∈（4，8]时，f（x）=8+4（8﹣x）=40﹣4x．

③当点F在HC上时，

即x∈（8，12）时，y=S五边形ABFED=S梯形ACD﹣S三角形CEF

f（x）= （12﹣x）2，

∴函数解析式为f（x）=

（2）解：g（x）= ，

①由二次函数的性质可知，函数g（x）在（4，8）上是减函数．

②虽然g（x）在（0，4）和（4，8）单调递减，

但是g（3.9）=24.395，g（4.1）=44.84，

∴g（3.9）＜g（4.1）．

因此函数g（x）在定义域内不具有单调性．

【解析】（1）可以通过分类讨论明确图形的特征，再根据图形形状求出函数的解析式；（2）可以求出函数g（x）的解析式，①由解析式即可得到判断函数的单调性，②分别求出g（3.9）=24.395，g（4.1）=44.84，比较即可．