Question

已知函数f（x）=ax³+bx²（x∈R）的图象过点P（-1，2），且在P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直．
（Ⅰ）求f（x）得解析式；
（Ⅱ）若g（x）=af（x）-3x在（-1，0）上是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）本题的解析式中有两个参数，故需要两个方程，由图象过定点P可以得到一个方程，另一个由点P处的切线与直线x-3y=0垂直可以得到切线的斜率，得到另一个方程，由此两方程联立即可得到两个参数的值．
（Ⅱ）求解本题中的参数取值范围需要先求出g（x）的解析式，然后求出其导数，由于函数在（-1，0）上是减函数，故在这个区间上导数值应小于等于0，由此关系得到参数a的不等式，解之即得．

解答：解：（1）∵f′（x）=3ax²+2bx，
∴由题设有

f(-1)=-a+b=2 f′(-1)=3a-2b=-3

∴

a=1 b=3

∴f（x）=x³+3x²．（4分）
（2）由题意g（x）=ax³+3ax²-3x，g′（x）=3ax²+6ax-3，
又由已知得g′（x）=3ax²+6ax-3≤0在（-1，0）上恒成立，
可得a≥

1

x2+2x

得在（-1，0）上恒成立，
由于

1

x2+2x

＜-1
∴a≥-1
即符合条件的参数a的取值范围是a≥-1（12分）

点评：本题的考点是函数的解析式求解方法及函数的单调性与导数的关系，用导数研究函数的单调性是一个重要的方法，导数的引入给函数单调性的研究带来了极大的便利，学习时要注意导数在函数中的使用方法及规律．