Question

【题目】在椭圆外一直线上取 个不同的点，过向椭圆作切线、，切点分别为、.记直线为.

（1）若存在正整数、（、，），使得点在直线上，证明：点在直线上；

（2）试求直线将椭圆分成的区域的个数.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

设椭圆:，直线：，.

则点关于椭圆的切点弦的方程为 ①

（1）直线：，由点在上知.

从而，点也满足方程①，即点也在直线上.

（2）当时，直线：，即. ②

由直线在椭圆外知.

将式②代入式①整理得.

从而，直线恒过定点.

而，故该定点在椭圆内.当时，直线：，即

. ③

联立椭圆与直线的方程并化简得.

由直线在椭圆外知

.

将式③代入式①整理得.

此时，直线恒过定点.

而，故该定点在椭圆内.

综上，直线交于椭圆内一定点.

故这条直线将椭圆分成个区域.