Question

【题目】已知向量 =（sinx，1）， =（ Acosx， cos2x）（A＞0），函数f（x）= 的最大值为6．
（1）求A；
（2）将函数y=f（x）的图象像左平移 个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）在[0， ]上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）= = Asinxcosx+ cos2x= Asin2x+ cos2x=A（ sin2x+ cos2x）=Asin（2x+ ）．

因为A＞0，由题意可知A=6．

（2）解：由（1）f（x）=6sin（2x+ ）．

将函数y=f（x）的图象向左平移 个单位后得到，

y=6sin[2（x+ ）+ ]=6sin（2x+ ）的图象．再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 倍，

纵坐标不变，得到函数y=6sin（4x+ ）的图象．因此g（x）=6sin（4x+ ）．

因为x∈[0， ]，所以4x+ ∈[ ， ]，4x+ = 时取得最大值6，4x+ = 时函数取得最小值﹣3．

故g（x）在[0， ]上的值域为[﹣3，6]

【解析】（1）利用向量的数量积展开，通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化为，一个角的一个三角函数的形式，通过最大值求A；（2）通过函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律将函数y=f（x）的图象像左平移 个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求出g（x）的表达式，通过x∈[0， ]求出函数的值域．