Question

15．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数，$f（{\frac{1}{3}}）=0$，则不等式$f（{{{log}_{\frac{1}{3}}}x}）＞0$的解集为{x|x＞$\frac{\root{3}{9}}{3}$或0＜x＜$\root{3}{3}$}．

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．

解答 解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，$f（{\frac{1}{3}}）=0$，
∴不等式$f（{{{log}_{\frac{1}{3}}}x}）＞0$等价为f（|$lo{g}_{\frac{1}{3}}x$|）＞f（$\frac{1}{3}$），
即|$lo{g}_{\frac{1}{3}}x$|＞$\frac{1}{3}$，
即$lo{g}_{\frac{1}{3}}x$＞$\frac{1}{3}$或$lo{g}_{\frac{1}{3}}x$＜-$\frac{1}{3}$，
即x＞$\frac{\root{3}{9}}{3}$或0＜x＜$\root{3}{3}$，
故不等式的解集为{x|x＞$\frac{\root{3}{9}}{3}$或0＜x＜$\root{3}{3}$}，
故答案为：{x|x＞$\frac{\root{3}{9}}{3}$或0＜x＜$\root{3}{3}$}．

点评 本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．