【题目】已知函数f(x)= ,a,b∈R,a≠0,b≠0,f(1)= ,且方程f(x)=x有且仅有一个实数解;
(1)求a、b的值;
(2)当x∈( , ]时,不等式(x+1)f(x)>m(m﹣x)﹣1恒成立,求实数m的范围.
【答案】
(1)解:∵f(x)= ,且f(1)= ;
∴ ,即a+b=2;
又 只有一个实数解;
∴x 有且仅有一个实数解为0;
∴b=1,a=1;
∴f(x)=
(2)解:∵x∈( , ];
∴x+1>0;
∴(x+1)f(x)>m(m﹣x)﹣1恒成立(1+m)x>m2﹣1;
当m+1>0时,即m>﹣1时,有m﹣1<x恒成立m<x+1m<(x+1)min
∴﹣1<m≤ ;
当m+1<0,即m<﹣1时,同理可得m>(x+1)max= ;
∴此时m不存在.
综上:m∈(﹣1, ]
【解析】(1)根据题意,直接带入f(1),同时考虑f(x)=x有且仅有一个实数解,故可求出a.b值;(2)当x∈( , ]时,不等式(x+1)f(x)>m(m﹣x)﹣1恒成立,即可转化为:(x+1)f(x)>m(m﹣x)﹣1恒成立(1+m)x>m2﹣1;
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【题目】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c)=0且0<x<c时,f(x)>0,
(1)证明:是f(x)=0的一个根;
(2)试比较与c的大小;
(3)证明:-2<b<-1.
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【题目】如图,正三棱柱中为的中点。
(1)求证:;
(2)若点为四边形内部及其边界上的点,且三棱锥的体积为三棱柱体积的,试在图中画出点的轨迹,并说明理由。
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【题目】等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列,若=1,Sn是{}的前n项和,则的最小值为________.
【答案】4
【解析】
成等比数列,=1,可得:= ,即(1+2d)2=1+12d,d≠0,解得d.可得an,Sn.代入利用分离常数法化简后,利用基本不等式求出式子的最小值.
∵成等比数列,a1=1,
∴= ,
∴(1+2d)2=1+12d,d≠0,
解得d=2.
∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1.
Sn=n+×2=n2.
∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4,
当且仅当n+1=时取等号,此时n=2,且取到最小值4,
故答案为:4.
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式,等比中项的性质,基本不等式求最值,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
【题型】填空题
【结束】
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【题目】设是公比为正数的等比数列,,
(1)求的通项公式;
(2)设是首项为1,公差为2的等差数列,求数列的前项和
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