Question

已知动圆过定点F（0，2），且与定直线L：y=-2相切．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若AB是轨迹C的动弦，且AB过F（0，2），分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ．

Answer 1

分析：（I）由题意可得：动圆圆心到定点（0，2）与到定直线y=-2的距离相等，利用抛物线的定义求轨迹方程即可；
（II）设AB：y=kx+2，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用切线的几何意义即可求得过抛物线上A、B两点的切线斜率关系，从而解决问题．

解答：解：（I）依题意，圆心的轨迹是以F（0，2）为焦点，L：y=-2为准线的抛物线上（2分）
因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹是x²=8y（5分）
（II）∵直线AB与x轴不垂直，设AB：y=kx+2．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（6分）
由

y=kx+2 y= 1 8 x2.

可得x²-8kx-16=0，x₁+x₂=8k，x₁x₂=-16（8分）
抛物线方程为y=

1

8

x2，求导得y′=

1

4

x．
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是
k1=

1

4

x1，k2=

1

4

x2，k1•k2=

1

4

x1•

1

4

x2=

1

16

x1•x2=-1
所以，AQ⊥BQ

点评：本题考查轨迹方程的求法，以及抛物线定义的应用，体现分类讨论的数学思想．定义法  若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．