Question

由曲线x²=4y，x²=-4y，x=4，x=-4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V₁，满足x²+y²≤16，x²+（y-2）²≥4，x²+（y+2）²≥4的点（x，y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V₂，则（　　）

• A．V₁=

  1

  2

  V₂
• B．V₁=

  2

  3

  V₂
• C．V₁=V₂
• D．V₁=2V₂

Answer 1

分析：由题意可得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，求出所得截面的面积相等，利用祖暅原理知，两个几何体体积相等．

解答：解：如图，两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，
用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，所得截面面积 S₁=π（4²-4|y|），
S₂=π（4²-y²）-π[4-（2-|y|）²]=π（4²-4|y|）
∴S₁=S₂，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，
故选C．

点评：本题主要考查祖暅原理的应用，求旋转体的体积的方法，体现了等价转化、数形结合的数学思想，属于基础题．