Question

对于数列{x_n}，如果存在一个正整数m，使得对任意的n（n∈N^*）都有x_n+m=x_n成立，那么就把这样一类数列{x_n}称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列{x_n}的最小正周期，以下简称周期．例如当x_n=2时，{x_n}是周期为1的周期数列，当yn=sin(

π

2

n)时，{y_n}的周期为4的周期数列．
（1）设数列{a_n}满足a_n+2=λ•a_n+1-a_n（n∈N^*），a₁+a，a₂=b（a，b不同时为0），且数列{a_n}是周期为3的周期数列，求常数λ的值；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，且4S_n=（a_n+1）²．
①若a_n＞0，试判断数列{a_n}是否为周期数列，并说明理由；
②若a_na_n+1＜0，试判断数列{a_n}是否为周期数列，并说明理由．
（3）设数列{a_n}满足a_n+2=-a_n+1-a_n（n∈N^*），a₁=1，a₂=2，b_n=a_n+1，数列{b_n}的前n项和S_n，试问是否存在p、q，使对任意的n∈N^*都有p≤

Sn

n

≤q成立，若存在，求出p、q的取值范围；不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用数列{a_n}是周期为3的周期数列以及a_n+2=λ•a_n+1-a_n可以推得（λ+1）（a_n+2-a_n+1）=0即可求常数λ的值；
（2）先利用4S_n=（a_n+1）²求得a_n-a_n-1=2或a_n=-a_n-1（n≥2）．
①由a_n＞0得a_n-a_n-1=2（n≥2），求出数列{a_n}的通项公式即可判断数列{a_n}是否为周期数列；
②由a_na_n+1＜0的a_n=-a_n-1（n≥2），求出数列{a_n}的通项公式即可判断数列{a_n}是否为周期数列；
（3）先由数列{a_n}满足a_n+2=-a_n+1-a_n（n∈N^*），推得数列{a_n}以及数列{b_n}是周期为3的周期数列，求出数列{b_n}的前3项，即可求出数列{b_n}的前n项和S_n以及数列{b_n}的前n项和S_n的取值范围，即可求出对应的p、q的取值范围．

解答：解：由（1）数列{a_n}是周期为3的数列，
得a_n+3=a_n，且

an+2=λ an+1-an  an+3=λan+2-an+1

?（λ+1）（a_n+2-a_n+1）=0，即λ=-1．

（2）当n=1时，s₁=a₁，4s₁=（a₁+1）²?a₁=1，
当n≥2时，4a_n=4s_n-4s_n-1=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²．?（a_n-1）²=（a_n-1+1）²，即a_n-a_n-1=2或a_n=-a_n-1（n≥2）．
①由a_n＞0有a_n-a_n-1=2（n≥2），则{a_n}为等差数列，即a_n=2n-1，
由于对任意的n都有a_n+m≠a_n，所以数列{a_n}不是周期数列．
②由a_na_n+1＜0有a_n=-a_n-1（n≥2），数列{a_n}为等比数列，即a_n=（-1）^n-1，
即a_n+2=a_n对任意n都成立．
即当a_na_n+1＜0时是{a_n}周期为2的周期数列．

（3）假设存在p，q．满足题设．
于是

an+2=-an+1-an an+3=-an+2-an+1

?a_n+3=a_n，又b_n=a_n+1则b_n+3=b_n，
所以{b_n}是周期为3的周期数列，所以{b_n}的前3项分别为2，3，-2．
则s_n=

n       n=3k n+1     n=3k-2 n+3     n=3k-1

，
当n=3k时，

sn

n

=1；
当n=3k-2时，

sn

n

=1+

1

n

?1＜

sn

n

≤2；
当n=3k-1时，

sn

n

=1+

3

n

?1＜

sn

n

≤

5

2

，
综上1≤

sn

n

≤

5

2

，
为使p≤

sn

n

≤q恒成立，只要p≤1，q≥

5

2

即可．
综上，存在p≤1，q≥

5

2

满足题设．

点评：本题是在新定义下对数列知识的综合考查，属于数列中的难题．一般数列出大题，要么是非常容易，在第一第二大题；要么就是很难的题目．