Question

已知函数y＝f（x）的图象是自原点出发的一条折线. 当n≤y≤n＋1（n＝0，1，2，…)时，该图象是斜率为bⁿ的线段(其中正常数b≠1），设数列｛x_n｝由f（x_n）＝n（n＝1，2，…）定义

 

(Ⅰ)求x₁、x₂和x_n的表达式；

 

(Ⅱ)计算x_n；

 

(Ⅲ)求f（x）的表达式，并写出其定义域.

Answer 1

(Ⅰ)解：依题意f（0）＝0，又由f（x₁）＝1，当0≤y≤1时，

函数y＝f（x）的图象是斜率为b⁰＝1的线段，故由＝1得x₁＝1．

 

又由f（x₂）＝2，当1≤y≤2时，函数y＝f（x）的图象是斜率为b的线段，

 

故由＝b，即x₂－x₁＝       得x₂＝1＋．

 

记x₀＝0．由函数y＝f（x）图象中第n段线段的斜率为b^n－1，故得＝b^n－1．

 

又f（x_n）＝n，f（x^n－1）＝n－1；

∴x_n－x_n－1＝()^n－1，n＝1，2，…．

由此知数列｛x_n－x_n－1｝为等比数列，其首项为1，公比为．

 

因b≠1，得x_n＝＝1＋＋…＋＝，即x_n＝

 

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知x_n＝当b＞1时，=

 

当0＜b＜1时，n→∞，x_n也趋向于无穷大，limx_n不存在

 

(Ⅲ)解：由（Ⅰ）知：当0≤y≤1时，y＝x，即当0≤x≤1时，f（x）＝x；

 

当n≤y≤n＋1即x_n≤x_n＋1，由(Ⅰ)可知，

f（x）＝n＋b_n（x－x_n）(n＝1，2，3，…）

由(Ⅱ)知：当b＞1时，y＝f（x）的定义域为［0，).

当0＜b＜1时，y＝f（x）的定义域为［0，＋∞）．

图1-30