Question

离心率为

2

的双曲线C₁：

y2

a2

-

x2

b2

=1上的动点P到两焦点的距离之和的最小值为2

2

，抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点与双曲线C₁的上顶点重合．
（Ⅰ）求抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）过直线l：y=a（a为负常数）上任意一点M向抛物线C₂引两条切线，切点分别为AB，坐标原点O恒在以AB为直径的圆内，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得双曲线焦距，由离心率，可求长轴长，从而可得双曲线的上顶点为（0，1），故可求抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）设M（m，a），A（x1，

1

4

x12），B（x2，

1

4

x22），求出切线方程，可得x₁，x₂是方程4a=2xm-x²的两个不同的根，利用韦达定理及坐标原点O恒在以AB为直径的圆内，可得不等式，从而可求实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由已知得双曲线焦距为2

2

，离心率为

2

，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为（0，1），所以抛物线C₂的方程为x²=4y；
（Ⅱ）设M（m，a），A（x1，

1

4

x12），B（x2，

1

4

x22），故直线MA的方程为y-

1

4

x12=

1

2

x1(x-x1)，即4y=2x1x-x12，
所以4a=2x1m-x12，同理可得：4a=2x2m-x22，
即x₁，x₂是方程4a=2xm-x²的两个不同的根，所以x₁x₂=4a
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+

1

16

（x₁x₂）²=4a+a²
∵坐标原点O恒在以AB为直径的圆内，
∴4a+a²＜0，即-4＜a＜0．

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查抛物线的切线，考查韦达定理的运用，属于中档题．