Question

如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE=BE，平面ABCD⊥平面ABE，点F在CE上，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）证明：平面ADE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求点D到平面ACE的距离．

Answer 1

分析：（I）由线面垂直的性质及BF⊥平面ACE，可得BF⊥AE，由面面垂直的性质及平面ABCD⊥平面ABE，可得BC⊥平面ABE，结合线面垂直的判定定理可得AE⊥平面BCE，最后由面面垂直的判定定理得到平面ADE⊥平面BCE；
（Ⅱ）由BD交平面ACE的交点为BD的中点，可是点D与点B到平面ACE的距离相等，进而根据BF⊥平面ACE，所以BF为点B到平面ACE的距离，解三角形ABE和三角形CBE可得答案．

解答：证明：（Ⅰ）∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，
∴BF⊥AE…（2分）
又∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB
∴BC⊥平面ABE，
从而，BC⊥AE，且BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE，…（5分）
又AE?平面ADE，
故平面平面ADE⊥平面BCE．…（6分）
解：（Ⅱ）如图，连接BD交AC于点M，则点M是BD的中点，
所以点D与点B到平面ACE的距离相等．
因为BF⊥平面ACE，所以BF为点B到平面ACE的距离．…（8分）
因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE．
又因为AE=BE所以△AEB是等腰直角三角形，
因为AB=2，所以BE=2sin45°=

2

，…（9分）
又在Rt△CBE中，CE=

BC2+BE2

=

6

，
所以BF=

BC×BE

CE

=

2 3

3

．
故点D到平面ACE的距离是

2 3

3

．…（12分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定及性质，点到平面的距离运算，其中（I）的关键是熟练掌握空间线线垂直，线面垂直，面面垂直的转化，（II）的关键是将D到平面的距离转化为B到平面的距离．