设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知an+1=2Sn+2()
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列,
①在数列{dn}中是否存在三项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项,若不存在,说明理由;
②求证:.
(1) (2)见解析
解析试题分析:
(1)利用Sn与an之间的关系,即可得到关于an+1,an的递推式,证明an为等比数列,且可以知道公比,当n=1时,可以得到a1与a2之间的关系,在根据an等比数列,可以消掉a2得到首项的值,进而得到通项公式.
(2)根据等差数列公差与项之间的关系(),可以得到
,带入an得到dn的通项公式.
①假设存在,dm,dk,dp成等比数列,可以得到关于他们的等比中项式子,把dn的通项公式带入计算可以得到,则m,k,p既成等差数列也是等比数列,所以三者相等,与数列{dn}中是否存在三项dm,dk,dp(不相等)矛盾,所以是不存在的.
②利用(2)所得求出的通项公式,再利用错位相减可以求得
,利用不等式的性质即可得到
证明原式.
试题解析:
(1)由,
可得:,
两式相减:. 2分
又,
因为数列是等比数列,所以
,故
.
所以. 4分
(2)由(1)可知,
因为:,故:
. 6分
①假设在数列中存在三项
(其中
成等差数列)成等比数列,
则:,即:
,
(*) 8分
因为成等差数列,所以
,
(*)可以化简为,故
,这与题设矛盾.
所以在数列中不存在三项
(其中
成等差数列)成等比数列.10分
②令,
,
11分
两式相减: 13分
. 14分
考点:等比数列错位相减法不等式等差等比中项
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知等差数列的前n项和为
,公差
成等比数列
(1)求数列的通项公式;
(2)若从数列中依次取出第2项、第4项、第8项,
,按原来顺序组成一个新数列
,且这个数列的前
的表达式.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
正项数列{an}的前n项和Sn满足:-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:对于任意的n∈N*,都有Tn<
.
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