Question

某地区气候条件恶劣，且位于沙漠边缘地带，到2011年底该地区的绿化率只有30%，计划从2012年开始加大沙漠化改造的力度，每年将原来沙漠面积的16%改造为绿洲，但同时原有绿洲面积的4%还会被沙漠化．
（1）设该地区的总面积为a，2011年底的绿洲面积为a1=

3

10

a，经过一年治理后绿洲面积为a₂，…，经过n年后绿洲面积为a_n+1，求证：an+1=

4

5

an+

4

25

；
（2）问至少需要经过多少的努力，才能使该地区的绿洲面积超过60%？（参考数据：lg2=0.3）

Answer 1

分析：（1）经过n年后绿洲面积由两部分组成，一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化后剩下的面积为96%a_n，另一部分是新绿洲化的面积16%b_n，由此可得结论；
（2）先确定a_n+1=

4

5

a-

1

2

a×(

4

5

)n，再建立不等式，即可得到结论．

解答：（1）证明：设2011年底沙漠面积为b₁，经过n年沙漠面积为b_n+1，则a₁+b₁=a，
依题意，a_n+1由两部分组成，一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化后剩下的面积为96%a_n，另一部分是新绿洲化的面积16%b_n，
∴a_n+1=96%a_n+16%b_n=

4

5

a_n+

4

25

a；
（2）解：由（1）可知a_n+1-

4

5

a=

4

5

（a_n-

4

5

a）
∴{a_n-

4

5

a}是以-

1

2

a为首项，

4

5

为公比的等比数列
∴a_n+1=

4

5

a-

1

2

a×(

4

5

)n
依题意：

4

5

a-

1

2

a×(

4

5

)n＞60%a
∴(

4

5

)n＜

2

5

∴n＞

lg 2 5

lg 4 5

=

1-2lg2

1-3lg2

=4
∴至少需要5年才能达到目标．

点评：本题考查数列模型的构建，考查数列通项的求解，考查解不等式，属于中档题．