Question

如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（2）求棱锥E-DFC的体积；
（3）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)平面；（2）；（3）.

试题分析：本题主要考查线面垂直、线面平行、线线垂直、线线平行以及锥体体积问题，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问，在中，利用中位线得到与平行，通过线面平行的判断定理即可得到平面；第二问，要求三棱锥的体积，找到底面积和高是关键，通过的翻折得出平面，通过，得出平面，所以为锥体的高，利用锥体体积公式计算出体积；第三问，在线段上取点．使， 过作于，在中，利用边长求出的正切，从而确定角的度数，在等边三角形中，是角平分线，所以，再利用线面垂直的判定证出平面，所以.
试题解析：（1）平面，理由如下：
如图：在中，由分别是、中点，得，
又平面，平面．∴平面．

（2）∵，，将沿翻折成直二面角．
∴   ∴平面
取的中点，这时  ∴平面，，
 
（3）在线段上存在点，使
证明如下：在线段上取点．使， 过作于，
∵平面    ∴平面
∴，  ∴，
∴  在等边中， ∴
∵平面    ∴．
∴平面， ∴． 
此时，   ∴．