Question

（2009•武汉模拟）（文科做）不等式

1

x

+1≥

2

x

的解集为

{x|x≥1}

．

Answer 1

分析：根据原不等式得到x大于0，在不等式两边同时乘以x，去分母后移项得到

x

≥-x+2，若-x+2大于0，求得x小于等于2，把不等式两边平方，整理后，根据两数相乘异号得负的取符号法则转化为两个不等式组，求出两不等式组解集的并集，再根据x的范围得到原不等式的解集；若-x+2小于0，即x大于2时，显然不等式恒成立，综上，得到原不等式的解集．

解答：解：由题意得x＞0，
在不等式两边同时乘以x得：

x

+x≥2，即

x

≥-x+2，
若-x+2≥0，即x≤2时，
两边平方得：x≥（-x+2）²，即（x-1）（x-4）≤0，
可化为：

x-1≥0 x-4≤0

或

x-1≤0 x-4≥0

，
解得：1≤x≤4，
原不等式的解集为1≤x≤2；
若-x+2＜0，即x＞2时，

x

≥-x+2恒成立，
此时原不等式也恒成立，
综上，原不等式的解集为{x|x≥1}．
故答案为：{x|x≥1}

点评：此题考查了其他不等式的解法，利用了分类讨论及转化的思想，要求学生掌握转化的理论依据为两数相乘（相除）的取符号法则，在分类讨论时考虑要全面，不要漏解．