Question

由曲线y=x²和直线x=0，x=1，y=t²，t∈（0，1）所围成的图形的面积的最小值是

 

．

Answer 1

分析：由图形将阴影部分的面积用定积分表示出来，再利用定积分的运算规则将面积表示为t的函数，进行判断得出面积的最小值

解答：解：由题意及图象，曲线y=x²和直线y=t²交点坐标是（t，t²）
故阴影部分的面积是∫₀^t（t²-x²）d_x+∫_t¹（-t²+x²）d_x=（t²x-

1

3

x³）|₀^t+（-t²x+

1

3

x³）|_t¹=

4

3

t3-t2+

1

3

令p=

4

3

t3-t2+

1

3

，则p′=4t²-2t=2t（2t-1），知p=

4

3

t3-t2+

1

3

在（0，1）先减后增，在t=

1

2

时取到最小值，
故面积的最小值是

4

3

×(

1

2

)3-(

1

2

)2+

1

3

=

1

4

故答案为：

1

4

．

点评：本题考查求定积分，解题的关键是根据图象与函数解析式将面积用积分表示出来，利用积分的定义得到关于变量t的表达式，再研究其单调性求出最值，本题运算量较大涉及到的考点较多，综合性强，运算量大，极易因运算、变形出错．