【题目】(2015·湖南)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦长为2,过点F的直线l与C1相交于A, B两点,与C2相交于C,D两点,且 与 同向.
(1)求C2的方程
(2)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率
【答案】
(1)
(2)
【解析】(I)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1 ①; 又C1与C2的公共弦长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为C1:x2=4y,由此易知C2的公共点的坐标为(, ),所以 ②,
联立①②得a2=9, b2=8,故C2的方程为。
(II)如图,设A(x1,y1) B(x2, y2) C(x3, y3) D(x4, y4) )
因 与 同向,且 ③
设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,
由得x2-4kx-4=0,由x1, x2是这个方程的两根,x1+x2=4k, x1x2=-4④
由得(9+8k2)x2+16kx-64=0,而x3, x4是这个方程的两根,
x3+x4=, x3x4=⑤
将④、⑤代入③,得16(k2+1)=+。即16(k2+1)=
所以(9+8k2)2=16x9,解得k=,即直线l的斜率为
【考点精析】本题主要考查了直线的斜率的相关知识点,需要掌握一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα才能正确解答此题.
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【题目】设函数f(x)=emx+x2-mx
(1)(I)证明:f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增;
(2)(II)若对于任意x1 , x2[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|e-1,求m的取值范围。
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【题目】(2015·四川)已知函数f(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.
(1)设g(x)是f(x)的导函数,评论g(x)的单调性;
(2)证明:存在a(0,1),使得f(x)≥0,在区间(1,+)内恒成立,且f(x)=0在(1,+)内有唯一解.
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【题目】(2015·湖南)某工作的三视图如图3所示,现将该工作通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工作的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=新工件的体积/原工件的体积)
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.
(Ⅰ)求证:BE//平面ADE ;
(Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.
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【题目】设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数
(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为 ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.(1)用所给编号列出所有可能的结果;(2)设为事件“编号为的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件发生的概率
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【题目】全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标.根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.求:(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在[7,8]的概率;(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.
组号 | 分组 | 频数 |
1 | [4,5) | 2 |
2 | [5,6) | 8 |
3 | [6,7) | 7 |
4 | [7,8] | 3 |
(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在[7,8]的概率;
(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.
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【题目】 已知2件次品和3件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所 需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望).
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