Question

【题目】已知椭圆E的一个顶点为，焦点在x轴上，若椭圆的右焦点到直线的距离是3．

求椭圆E的方程；

设过点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）根据点到直线的距离列式求得c，再求得a；

（2）根据弦长公式求得弦长后，换元成二次函数求最值．

（1）由题意，

右焦点到直线的距离,，

,

∵椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的方程为

（2）〖解法1〗当不存在时，

当存在时，设直线方程为，联立，得，

令则

所以，当，即，得时

的最大值为，即的最大值为

直线的方程为.

（2）〖解法2〗设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），

设点对应的参数分别为，且;

将参数方程代入椭圆方程可得：，

化简可得：，

若，则上面的方程为，则,矛盾

若，则，，

则弦长为

上式，

当且仅当即或，时等号成立.

直线方程为：或