Question

已知

a

=（

3

sin（π+ωx），cosωx），

b

=（sin（

3

2

π-ωx），-cosωx），ω＞0，设f（x）=

a

•

b

的最小正周期为π．
（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）当x∈（-

π

3

，

π

6

）时，求f（x）的值域；
（Ⅲ）求满足f（α）=0且-1＜α＜π的角α的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用向量数量积运算公式及两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数的表达式，通过正弦函数的单调递增间直接求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）通过x∈（-

π

3

，

π

6

），求出相位角的范围，利用三角函数的值域直接求f（x）的值域．
（Ⅲ）由f（α）=0且-1＜α＜π得sin(2α-

π

6

)=

1

2

，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

3

sin(π+ωx)sin(

3

2

π-ωx)-cos2ωx=

3

sinωxcosωx-cos2ωx
=

3

2

=sin2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

                       …（1分）
∴y=f（x）的最小正周期为T=π，ω＞0，即：

2π

2ω

=π，∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

．…（2分）
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z
所以f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z…（4分）
（Ⅱ）∵-

π

3

＜x＜

π

6

∴-

5π

6

＜2x-

π

6

＜

π

6

∴-1≤sin(2x-

π

6

)＜

1

2

…（6分）
∴-

3

2

≤sin(2x-

π

6

)-

1

2

＜0
∴f(x)∈[-

3

2

，0)…（8分）
（Ⅲ）∵f（α）=0，∴sin(2α-

π

6

)-

1

2

=0，
∴sin(2α-

π

6

)=

1

2

∵0＜α＜π，∴-

π

6

＜2α-

π

6

＜

11π

6

，…（10分）
∴2α-

π

6

=

π

6

或

5π

6

∴α=

π

6

或

π

2

…（12分）

点评：本题考查向量的数量积运算及两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的性质的应用，考查计算能力．