Question

13．若函数f（x）=sinωx（$\sqrt{3}$cosωx-sinωx）（0＜ω＜1）的图象关于直线x=$\frac{2π}{3}$对称．
（1）求f（x）在[0，2015π]上的零点个数；
（2）若点A（x₀，y₀）是y=f（x）图象的对称中心，且x₀∈（0，2π]，求点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，根据它的图象关于直线x=$\frac{2π}{3}$对称，求得ω的值，可得f（x）的解析式．令f（x）=0，求得x的值，从而求得f（x）在[0，2015π]上的零点．
（2）由题意可得sin（$\frac{1}{2}$•x₀+$\frac{π}{6}$）=0，求得x₀的值，可得点A的坐标．

解答 解：（1）∵函数f（x）=sinωx（$\sqrt{3}$cosωx-sinωx）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-sin²ωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{1-cos2ωx}{2}$=sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$ （0＜ω＜1）的图象关于直线x=$\frac{2π}{3}$对称，
∴$\frac{2π}{3}$•ω+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即ω=$\frac{3}{2}$k+$\frac{1}{2}$，k∈Z，∴ω=$\frac{1}{2}$，
f（x）=sin（$\frac{1}{2}$•x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
令f（x）=0，求得sin（$\frac{1}{2}$•x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}$•x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$，或$\frac{1}{2}$•x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
即x=4kπ，或x=4kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z．．
再根据x∈[0，2015π]，可得k=0，4π，8π，…，4•503π；
或x=$\frac{4π}{3}$，4π+$\frac{4π}{3}$，8π+$\frac{4π}{3}$，…，4•503+$\frac{4π}{3}$，共计504+504=1008个．
（2）若点A（x₀，y₀）是y=f（x）图象的对称中心，且x₀∈（0，2π]，
则 sin（$\frac{1}{2}$•x₀+$\frac{π}{6}$）=0，∴$\frac{1}{2}$•x₀+$\frac{π}{6}$=kπ，即 x₀=2kπ-$\frac{π}{3}$，故x₀=$\frac{5π}{3}$，
故点A的坐标为（$\frac{5π}{3}$，1）．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．