Question

设函数f（x）=

1

3

x³，g（x）=-x²+ax-a²（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在x=3处的切线与曲线y=g（x）相切，求a的值；
（2）当-1＜a＜3时，试讨论函数h（x）=f（x）+g（x）在x∈（0，3）的零点个数．

Answer 1

分析：（1）利用导数求出曲线y=f（x）在x=3处的切线方程，根据切线与曲线y=g（x）相切，可得一元二次方程，结合根的判别式，可求a的值；
（2）当-1＜a＜3时，对a进行讨论，利用函数的单调性，结合零点存在定理，即可得出函数h（x）=f（x）+g（x）在x∈（0，3）的零点个数．

解答：解：（1）由f（x）=

1

3

x³，可得f′（x）=x²．…（1分）
∴f′（3）=9
∴曲线y=f（x）在x=3处的切线方程为y-9=9（x-3），
即y=9x-18．       …（2分）
又该切线与曲线y=g（x）相切
∴-x²+ax-a²=9x-18有两个相等实根，…（3分）
即x²+（9-a）x+a²-18=0有两个相等实根
∴△=（9-a）²-4（a²-18）=0     …（4分）
即a²+6a-51=0
解得a=-3±2

15

   …（5分）
（2）h（x）=f（x）+g（x）=

1

3

x3-x2+ax-a2，
∴h′（x）=x²-2x+a，
∴△=4-4a=4（1-a）．…（6分）
h（0）=-a²，h（3）=a（3-a）
①当1≤a＜3时，△≤0，∴h′（x）≥0在R上恒成立，
∴h（x）在（0，3）上单调递增．…（7分）
此时h（0）＜0，h（3）＞0，则h（x）在（0，3）仅有一个零点；                …（8分）
②当a＜1时，△＞0
由h′（x）=0得x1=1-

1-a

，x2=1+

1-a

i）当-1＜a≤0时，x₁≤0，2≤x₂＜3
则当x∈（0，x₂）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（x₂，3）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；         …（9分）
又h（0）≤0，h（3）≤0，故h（x）在（0，3）没有零点；        …（10分）
ii）当0＜a＜1时，0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，则h（x）在（0，x₁）单调递增，在（x₁，x₂）单调递减，在（x₂，3）单调递增     …（11分）
∵0＜a＜1，∴

1-a

＜1，∴1-a＜

1-a

，
从而1-

1-a

＜a，即x₁＜a，故0＜x₁＜a＜1．
而h(x1)=

1

3

x12(x1-3)+a(x1-a)
∴h（x₁）＜0        …（13分）
综上，当-1≤a≤0时，h（x）在（0，3）没有零点；
当0＜a＜3时，h（x）在（0，3）仅有一个零点．       …（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．