Question

【题目】已知圆x2+y2+x﹣6y+m=0和直线x+2y﹣3=0交于P、Q两点，
（1）求实数m的取值范围；
（2）求以PQ为直径且过坐标原点的圆的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：圆x2+y2+x﹣6y+m=0，可化为（x+ ）2+（y﹣3）2=﹣m+ ，

∴ ＜ ，

∴﹣m+ ＞ ，

∴m＜8；

（2）解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），

由题意得：OP、OQ所在直线互相垂直，则kOPkOQ=﹣1，∴x1x2+y1y2=0，

又因为x1=3﹣2y1，x2=3﹣2y2，

所以（3﹣2y1）（3﹣2y2）+y1y2=0，即5y1y2﹣6（y1+y2）+9=0①，

将直线l的方程：x=3﹣2y代入圆的方程得：5y2﹣20y+12+m=0，

所以y1+y2=4，y1y2= ，

代入①式得：5× ﹣6×4+9=0，解得m=3，

故实数m的值为3

【解析】（1）利用圆心到直线的距离小于半径，即可求实数m的取值范围；（2）设点P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），由题意得OP、OQ所在直线互相垂直，即kOPkOQ=﹣1，亦即x1x2+y1y2=0，根据P、Q在直线l上可变为关于y1、y2的表达式，联立直线方程、圆的方程，消掉x后得关于y的二次方程，将韦达定理代入上述表达式可得m的方程，解出即可．