Question

如图正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，以下结论不正确的是（　　）

• A、异面直线A₁D与AB₁所成的角为60°
• B、直线A₁D与BC₁垂直
• C、直线A₁D与BD₁平行
• D、三棱锥A-A₁CD的体积为

  1

  6

  a³

Answer 1

考点：异面直线的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：如图所示，建立空间直角坐标系．利用正方体的性质、向量的夹角公式与数量积的关系、三棱锥的体积计算公式即可得出．

解答：解：如图所示，建立空间直角坐标系．
A．A₁（a，0，a），D（0，0，0），A（a，0，0），B₁（a，a，a）．
∴

A1D

=（-a，0，-a），

AB1

=（0，a，a），
∴cos＜

A1D

，

AB1

＞=

A1D • AB1

| A1D || AB1 |

=

-a2

2 a• 2 a

=-

1

2

，
∴异面直线A₁D与AB₁所成的角为60°．
B．C₁（0，a，a），B（a，a，0）．

A1D

•

BC1

=（-a，0，-a）•（-a，0，a）=a²-a²=0．
∴直线A₁D与BC₁垂直．
C．D₁（0，0，a）．
∵

A1D

•

BD1

=（-a，0，-a）•（-a，-a，a）=a²-a²=0，∴直线A₁D与BD₁垂直，不平行；
D．三棱锥A-A₁CD的体积=VC-A1AD=

1

3

×

1

2

a2•a=

1

6

a3．
综上可知：只有C不正确．
故选：C．

点评：本题考查了正方体的性质、向量的夹角公式与数量积的关系、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．