Question

【题目】已知等差数列{an}满足an+1＞an ， a1=1，且该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{bn}的前三项．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）令cn=anbn ， 求数列{cn}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：设d、q分别为数列{an}、{bn}的公差与公比．

由题意知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后

得2，2+d，4+2d是等比数列{bn}的前三项，

∴（2+d）2=2（4+2 d），解得：d=±2．

又∵an+1＞an，∴d＞0，∴d=2，

∴an=2n﹣1（n∈N*），

由此可得b1=2，b2=4，q=2，

∴bn=2n（n∈N*）

（2）解：由（1）可得cn=anbn=（2n﹣1）2n，

∴前n项和Sn=12+322+523+…+（2n﹣1）2n，

∴2Sn=122+323+524+…+（2n﹣1）2n+1，

相减得﹣Sn=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）2n+1，

=2+2 ﹣（2n﹣1）2n+1，

化简可得Sn=（2n﹣3）2n+1+6

【解析】（1）设d、q分别为数列{an}、{bn}的公差与公比．由a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2+d，4+2d是等比数列{bn}的前三项，可得关于d的方程，解出d，可得an ， 进而可得b1 ， b2 ， 公比q，故可得bn；（2）由（1）表示出cn ， 利用错位相减法，结合等比数列的求和公式，可求得Sn ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．