Question

【题目】已知数列{an}满足3（n+1）an=nan+1（n∈N*），且a1=3，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn；
（3）若 = ，求证： ≤ + +…+ ＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵数列{an}满足3（n+1）an=nan+1（n∈N*），且a1=3，∴ = ，

∴an= … =3n﹣1 … ×3=n3n

（2）解：数列{an}的前n项和Sn=3+2×32+3×33+…+n3n，

3Sn=32+2×33+…+（n﹣1）3n+n3n+1，

∴﹣2Sn=3+32+…+3n﹣n3n+1= ﹣n3n+1，

∴Sn= ×3n+1+

（3）证明： = ，∴ = = = ﹣ ．

∴ + +…+ =

+ +…+ =1﹣ ∈ ．

∴ ≤ + +…+ ＜1

【解析】（1）数列{an}满足3（n+1）an=nan+1（n∈N*），且a1=3，可得 = ，利用“累乘求积”方法即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．（3） = ，可得 = = = ﹣ ．利用“裂项求和方法”与数列的单调性即可得出．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．