Question

已知数列{a_n+1}满足a_n+1=2a_n-1且n，数列{b_n}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项a_n； （2）求S_n；
（3）设f（x）=（x-2ⁿ+1）ln（x-2ⁿ+1）-x（n∈N^*），求证：f（x）≥．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a_n+1=2a_n-1得a_n+1-1=2（a_n-1），且a₁-1=2由此能求出a_n．
（2）由a_n=2ⁿ+1，知，由此能够求出S_n．
（3）由，知当x=2ⁿ时，f'（x）=0；x＞2ⁿ时，f'（x）＞0，由此能够证明f（x）≥成立．
解答：解：（1）由a_n+1=2a_n-1得a_n+1-1=2（a_n-1），且a₁-1=2，∴数列{a_n-1}是以2为首项，2为公比的等比数列，a_n-1=2•2^n-1，∴a_n=2ⁿ+1．
（2）由（1）知a_n=2ⁿ+1，∴，．
（3）证明：，
当x=2ⁿ时，f'（x）=0；x＞2ⁿ时f'（x）＞0，f（x）在（2ⁿ，+∞）上递增；2ⁿ-1＜x＜2ⁿ时，∴f（x）≥成立．
点评：本题考查数列的通项公式的求法、数列前n项和的解法和数列与不等式的综合运用，解题时要注意迭代法、错位相减法和导数的合理运用．