Question

12．试用函数单调性的定义证明：$f（x）=\frac{2x}{x-1}$在（1，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析 先将原函数变成f（x）=2+$\frac{2}{x-1}$，根据减函数的定义，设x₁＞x₂＞1，通过作差证明f（x₁）＜f（x₂）即可．

解答 证明：f（x）=2+$\frac{2}{x-1}$；
设x₁＞x₂＞1，则：f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{x}_{1}-1}$-$\frac{2}{{x}_{2}-1}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$；
∵x₁＞x₂＞1；
∴x₂-x₁＜0，x₁-1＞0，x₂-1＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（1，+∞）上是单调减函数．

点评 考查分离常数法化简函数解析式，减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法及过程．