Question

11．设f（x）=$\frac{1}{2}$x²-tx+3lnx，g（x）=$\frac{2x+t}{{x}^{2}-3}$，且a，b为函数f（x）的极值点（0＜a＜b）．
（1）判断函数g（x）在区间[-b，-a]上的单调性，并证明你的结论；
（2）若曲线g（x）在x=1处的切线的斜率为-4，且方程g（x）-m=0（x≤0）有两个不等的实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数的正负判断函数的单调性；
（2）先利用导数的几何意义求出t，进而得出单调区间，根据极值点和单调性模拟函数图象，利用数学结合解决问题．

解答 解：（1）f′（x）=x-t+$\frac{3}{x}$=$\frac{{x}^{2}-tx+3}{x}$
x=a，x=b为函数f（x）的极值点，
∴a，b是方程x²-tx+3=0的两根
∴a+b=t，ab=3．
g′（x）=-$\frac{2（{x}^{2}+tx+3）}{（{x}^{2}-3）^{2}}$=-$\frac{2（x+a）（x+b）}{（{x}^{2}-3）^{2}}$． x≠$±\sqrt{3}$
∵0＜a＜b，ab=3，∴0＜a＜$\sqrt{3}$＜b
∴-b＜-$\sqrt{3}$＜-a＜0
当x∈（-b，-$\sqrt{3}$）和（-$\sqrt{3}$，-a）时，g′（x）＞0，g（x）递增．
（2）g′（x）=-$\frac{2（{x}^{2}+tx+3）}{（{x}^{2}-3）^{2}}$
g′（1）=-4，解得t=4．
∴g（x）=$\frac{2x+4}{{x}^{2}-3}$
令g′（x）=-$\frac{2（x+1）（x+3）}{{（x}^{2}-3）^{2}}$=0
解得x=-3或-1．
当x∈（-∞，0]时，
当x=-3时，g（x）取得极小值-$\frac{1}{3}$
当x=-1时，g（x）取得极大值-1．
根据函数单调性，模拟函数图象如图：由图象可知：

当-$\frac{1}{3}$＜m＜0或-$\frac{4}{3}$＜m＜-1时，方程g（x）-m=0有两个不相等的负实根．

点评 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值和图象是解题的关键