【题目】已知抛物线 : , 为 上一点且纵坐标为 , , 是 上的两个动点,且 .
(1)求过点 ,且与 恰有一个公共点的直线 的方程;
(2)求证: 过定点.
【答案】
(1)解:由题意得 ,显然直线 符合题意;
当 时,设 的方程为 ,由
得 ,令 ,解得 ,
于是 ,所以 的方程为 或
(2)解:设 , ,于是 ,
于是直线 的方程为 ,
即 ①,又 ,所以 ,
易得 , ,于是 .
即 ,与①联立,消去 ,
得 ,令 ,得 ,故过定点
【解析】(1)分情况讨论直线斜率存在和不存在,当斜率不存在时结合题意可得满足。当斜率存在时由直线方程的点斜式设出方程再与抛物线的方程联立,消元得到关于y的方程根据题意直线和抛物线相切进而方程的判别式等于零,即可求出m的值进而得到直线的方程。(2)根据题意分别求出点P、Q的坐标,然后求出直线QR的斜率由直线的点斜式求出直线的方程,整理化简再结合两直线垂直斜率之积等于-1得到关于y1和y2的代数式,利用整体思想结合代数式的几何意义的出x、y的值,进而可得QR过定点。
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【题目】已知函数f(x)= .
(1)当a=b=1时,求满足f(x)=3x的x的值;
(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,
①判断f(x)在R的单调性并用定义法证明;
②当x≠0时,函数g(x)满足f(x)[g(x)+2]= (3﹣x﹣3x),若对任意x∈R且x≠0,不等式g(2x)≥mg(x)﹣11恒成立,求实数m的最大值.
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【题目】函数f(x)=-x3-2x2+4x,当x∈[-3,3]时,f(x)≥a有恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-3,11)
B.[-33,+∞)
C.(-∞,-33]
D.[2,7]
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【题目】如图所示,游乐场中的摩天轮匀速逆时针旋转,每转一圈需要6min,其中心O距离地面40.5m,摩天轮的半径为40m,已知摩天轮上点P的起始位置在最低点处,在时刻t(min)时点P距离地面的高度为f(t)=Asin(ωt+φ)+h(A>0,ω>0,﹣π<φ<0,t≥0).
(Ⅰ)求f(t)的单调减区间;
(Ⅱ)求证:f(t)+f(t+2)+f(t+4)是定值.
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【题目】已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,其离心率 ,点 为椭圆上的一个动点,△ 面积的最大值为 .
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若 是椭圆上不重合的四个点, 与 相交于点 , 求 的取值范围.
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【题目】《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”: 2 = ,3 = ,4 = ,5 =
则按照以上规律,若8 = 具有“穿墙术”,则n=( )
A.7
B.35
C.48
D.63
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【题目】太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了一种相互转化,相互统一的和谐美.定义:能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆煌一个“太极函数”下列有关说法中:
①对圆O:x2+y2=1的所有非常数函数的太极函数中,一定不能为偶函数;
②函数f(x)=sinx+1是圆O:x2+(y﹣1)2=1的一个太极函数;
③存在圆O,使得f(x)= 是圆O的太极函数;
④直线(m+1)x﹣(2m+1)y﹣1=0所对应的函数一定是圆O:(x﹣2)2+(y﹣1)2=R2(R>0)的太极函数.
所有正确说法的序号是 .
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【题目】已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件:f(x﹣1)=f(3﹣x)且方程f(x)=2x有两个相等实数根 (Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)是否存在实数m,n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n],如果存在,求出符合条件的所有m,n的值,如果不存在,说明理由.
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