Question

已知函数f（x）=x²+2ax+2，
（Ⅰ）若f（x）在(-∞， 

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]是减函数，在[

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， +∞)是增函数，求实数a的值；
（Ⅱ）求实数a的取值范围，使f（x）在区间[-5，5]上是单调函数，并指出相应的单调性．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）在(-∞， 

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]是减函数，在[

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， +∞)是增函数，可知二次函数的对称轴为x=

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=-a，可求a；
（2）由f（x）在区间[-5，5]上是单调函数，说明对称轴在此区间的一侧，得到区间端点与对称轴的关系．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a²，其对称轴为x=-a，…（2分）
由f（x）在(-∞， 

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]是减函数，在[

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， +∞)是增函数，知     -a=

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…（4分）
所以，a=-

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．                                          …（6分）
（Ⅱ）f（x）的对称轴为x=-a
当对称轴在区间[-5，5]的左侧时，函数y=f（x）在[-5，5]上是单调增函数．
所以-a≤-5，即a≥5                     …（8分）
当对称轴在区间[-5，5]的右侧时，函数y=f（x）在[-5，5]上是单调减函数．
所以-a≥5      即a≤-5；  …（10分）
即实数a的取值范围是（-∞，-5]∪[5，+∞）     …（12分）

点评：本题考查了二次函数的单调性；二次函数的二次项系数以及对称轴与区间的位置关系确定了区间的单调性．