Question

5、已知对于任意实数x，函数f （x）满足f²（-x）=f²（x），若方程f （x）=0有2009个实数解，则这2009个实数解之和为

0

．

Answer 1

分析：由f²（-x）=f²（x）得f（-x）=±f（x）从而得到函数为奇函数或是偶函数，根据函数奇偶性的性质知f （x）=0的2009个实数解关于原点对称，所以这些解的和为0．

解答：解：∵f²（-x）=f²（x）∴f（-x）=±f（x）
当f（-x）=-f（x）时，函数为奇函数，其图象关于原点对称，
∴方程f （x）=0的2009个实数解关于原点对称∴这2009个实数解之和为0
当f（-x）=f（x）时，函数为偶函数，
∴其图象关于y轴对称
∴∴方程f （x）=0的2009个实数解关于原点对称∴这2009个实数解之和为0
综上这2009个实数解之和为0
故答案为：0

点评：本题考查了函数奇偶性的性质，同时考查了学生的想象能力，是个基础题．