Question

已知椭圆的左右焦点分别为F₁、F₂，离心率，直线y=x+2经过左焦点F₁．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P为椭圆C上的点，求∠F₁PF₂的范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可求F₁，进而可求c，结合可求a，最后由b²=a²-c²可求b，即可求解椭圆的方程
（2）当P在椭圆的右顶点时，易得∠F₁PF₂=0；当P不在椭圆的右顶点时，由定义可知，8=PF₁+PF₂，利用基本不等式可求的范围，然后在△F₁PF₂中，由余弦定理可得可求cos∠F₁PF₂的取值范围，进而可求角的范围
解答：解：（1）直线y=x+2与x的交点的坐标为（-2，0），则F₁的坐标为（-2，0）．…（2分）
设焦距为2c，则c=2．∵∴a=4，b²=a²-c²=12．…（5分）
则椭圆的方程为．…（6分）
（2）当P在椭圆的右顶点时，∠F₁PF₂=0（7分）
当P不在椭圆的右顶点时，由定义可知，8=PF₁+PF₂
∴当且仅当PF₁=PF₂时等号成立
△F₁PF₂中，由余弦定理可得（9分）
=，…（13分）
则；
由上述可得∠F₁PF₂的取值范围为．…（14分）
点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程，余弦定理在求解三角形中的应用，其中（2）的求解具有一定的综合性