Question

在平面直角坐标系xoy中，点A（-1，2）、B（2，3）、D（-2，-1）．
（1）求平行四边形ABCD的两条对角线的长；
（2）设向量

AB

-t

OD

与向量

AD

的夹角为锐角，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）由题意易得

AC

和

BD

的坐标，由模长公式可得；
（2）由夹角为锐角可得（

AB

-t

OD

）•

AD

＞0，解t的范围去掉同向的情形即可．

解答： 解：（1）由题意可得

AB

=（3，5），

AD

=（-1，1），
∴

AC

=

AB

+

AD

=（2，6），∴|

AC

|=

22+62

=2

10

，
同理可得

BD

=

AD

-

AB

=（-4，-4），∴|

BD

|=4

2

，
∴平行四边形ABCD的两条对角线的长分别为2

10

，4

2

；
（2）由（1）可得

AB

-t

OD

=（3+2t，5+t），
由向量

AB

-t

OD

与向量

AD

的夹角为锐角可得（

AB

-t

OD

）•

AD

＞0，
∴-（3+2t）+（5+t）＞0，解得t＜2，
又当t=-

8

3

时，两向量同向，夹角为0，不是锐角，
∴实数t的取值范围为t＜2且t≠-

8

3

点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及向量夹角为锐角问题，去除同向的情形是解决问题的关键，属基础题．