【题目】已知函数y=f(x)的定义在实数集R上的奇函数,且当x∈(﹣∞,0)时,xf′(x)<f(﹣x)(其中f′(x)是f(x)的导函数),若a= f(
),b=(lg3)f(lg3),c=(log2
)f(log2
),则( )
A.c>a>b
B.c>b>a
C.a>b>c
D.a>c>b
【答案】A
【解析】解:设F(x)=xf(x),得F'(x)=x'f(x)+xf'(x)=xf'(x)+f(x),
∵当x∈(﹣∞,0)时,xf′(x)<f(﹣x),且f(﹣x)=﹣f(x)
∴当x∈(﹣∞,0)时,xf′(x)+f(x)<0,即F'(x)<0
由此可得F(x)=xf(x)在区间(﹣∞,0)上是减函数,
∵函数y=f(x)是定义在实数集R上的奇函数,
∴F(x)=xf(x)是定义在实数集R上的偶函数,在区间(0,+∞)上F(x)=xf(x)是增函数.
∵0<lg3<lg10=1, ∈(1,2)
∴F(2)>F( )>F(lg3)
∵ =﹣2,从而F(
)=F(﹣2)=F(2)
∴F( )>F(
)>F(lg3)
即 >
>(lg3)f(lg3),得c>a>b
所以答案是:A
【考点精析】本题主要考查了对数值大小的比较和导数的几何意义的相关知识点,需要掌握几个重要的对数恒等式:,
,
;常用对数:
,即
;自然对数:
,即
(其中
…);通过图像,我们可以看出当点
趋近于
时,直线
与曲线相切.容易知道,割线
的斜率是
,当点
趋近于
时,函数
在
处的导数就是切线PT的斜率k,即
才能正确解答此题.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
经过点
,离心率为
.
(1)求的方程;
(2)过的左焦点
且斜率不为
的直线
与
相交于
,
两点,线段
的中点为
,直线
与直线
相交于点
,若
为等腰直角三角形,求
的方程.
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【题目】已知抛物线C:y=2x2 , 直线l:y=kx+2交C于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线C于点N.
(1)证明:抛物线C在点N处的切线与AB平行;
(2)是否存在实数k使以AB为直径的圆M经过点N,若存在,求k的值,若不存在,说明理由.
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【题目】如今,中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商分析近8年“双十一”期间的宣传费用 (单位:万元)和利润
(单位:十万元)之间的关系,得到下列数据:
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 11 | |
1 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 |
请回答:
(Ⅰ)请用相关系数说明
与
之间是否存在线性相关关系(当
时,说明
与
之间具有线性相关关系);
(Ⅱ)根据1的判断结果,建立与
之间的回归方程,并预测当
时,对应的利润
为多少(
精确到
).
附参考公式:回归方程中中
和
最小二乘估计分别为
,
,
相关系数.
参考数据: .
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【题目】设p:不等式x2+(m﹣1)x+1>0的解集为R;q:x∈(0,+∞),m≤x+ 恒成立.若“p且q”为假命题,“p或q”为真命题,求实数m的取值范围.
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【题目】下列命题中正确命题的个数是( )
①对于命题p:x∈R,使得x2+x﹣1<0,则¬p:x∈R,均有x2+x﹣1>0;
②p是q的必要不充分条件,则¬p是¬q的充分不必要条件;
③命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题;
④“m=﹣1”是“直线l1:mx+(2m﹣1)y+1=0与直线l2:3x+my+3=0垂直”的充要条件.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线L的参数方程是 (t为参数).
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程;
(2)设点P(m,0),若直线L与曲线C交于A,B两点,且|PA||PB|=1,求实数m的值.
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【题目】如图,已知A,B,C,D四点共面,且CD=1,BC=2,AB=4,∠ABC=120°,cos∠BDC= .
(1)求sin∠DBC;
(2)求AD.
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