在直角坐标系xoy上取两个定点A1(-2,0),A2(2,0),再取两个动点N1(0,m),N2(0,n),且mn=3.
(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程;
(2)已知点A(1,t)(t>0)是轨迹M上的定点,E,F是轨迹M上的两个动点,如果直线AE的斜率kAE与直线AF的斜率kAF满足kAE+kAF=0,试探究直线EF的斜率是否是定值?若是定值,求出这个定值,若不是,说明理由.
分析:(1)先分别求直线A
1N
1与A
2N
2的方程,进而可得
y2=-(x2-4),利用mn=3,可以得
+=1,又点A
1(-2,0),A
2(2,0)不在轨迹M上,故可求轨迹方程;
(2)先求点A的坐标
(1,),将直线AE的方程代入
+=1并整理,利用k
AE+k
AF=0得k
AF=-k,从而可表示直线EF的斜率,进而可判断直线EF的斜率为定值.
解答:解:(1)依题意知直线A
1N
1的方程为:
y=(x+2)①---(1分)
直线A
2N
2的方程为:
y=-(x-2)②----------(2分)
设Q(x,y)是直线A
1N
1与A
2N
2交点,①×②得
y2=-(x2-4)由mn=3整理得
+=1-----------------(5分)
∵N
1,N
2不与原点重合∴点A
1(-2,0),A
2(2,0)不在轨迹M上-----------------(6分)
∴轨迹M的方程为
+=1(x≠±2)-----------------------------------(7分)
(2)∵点A(1,t)(t>0)在轨迹M上∴
+=1解得
t=,即点A的坐标为
(1,)--(8分)
设k
AE=k,则直线AE方程为:
y=k(x-1)+,代入
+=1并整理得
(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(-k)2-12=0----------------------------------(10分)
设E(x
E,y
E),F(x
F,y
F),∵点
A(1,)在轨迹M上,
∴
xE=------③,
yE=kxE+-k④--------------(11分)
又k
AE+k
AF=0得k
AF=-k,将③、④式中的k代换成-k,
可得
xF=,
yF=-kxF++k------------(12分)
∴直线EF的斜率
KEF==∵
xE+xF=,xF-xE=∴
KEF===即直线EF的斜率为定值,其值为
---(14分)
点评:本题主要考查交轨法求轨迹方程,应注意纯粹性,(2)的关键是求出直线EF的斜率的表示,通过化简确定其伟定值,考查了学生的计算能力,有一定的综合性.