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在直角坐标系xoy上取两个定点A1(-2,0),A2(2,0),再取两个动点N1(0,m),N2(0,n),且mn=3.
(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程;
(2)已知点A(1,t)(t>0)是轨迹M上的定点,E,F是轨迹M上的两个动点,如果直线AE的斜率kAE与直线AF的斜率kAF满足kAE+kAF=0,试探究直线EF的斜率是否是定值?若是定值,求出这个定值,若不是,说明理由.
分析:(1)先分别求直线A1N1与A2N2的方程,进而可得y2=-
mn
4
(x2-4)
,利用mn=3,可以得
x2
4
+
y2
3
=1
,又点A1(-2,0),A2(2,0)不在轨迹M上,故可求轨迹方程;
(2)先求点A的坐标(1,
3
2
)
,将直线AE的方程代入
x2
4
+
y2
3
=1
并整理,利用kAE+kAF=0得kAF=-k,从而可表示直线EF的斜率,进而可判断直线EF的斜率为定值.
解答:解:(1)依题意知直线A1N1的方程为:y=
m
2
(x+2)
①---(1分)
直线A2N2的方程为:y=-
n
2
(x-2)
②----------(2分)
设Q(x,y)是直线A1N1与A2N2交点,①×②得y2=-
mn
4
(x2-4)

由mn=3整理得
x2
4
+
y2
3
=1
-----------------(5分)
∵N1,N2不与原点重合∴点A1(-2,0),A2(2,0)不在轨迹M上-----------------(6分)
∴轨迹M的方程为
x2
4
+
y2
3
=1
(x≠±2)-----------------------------------(7分)
(2)∵点A(1,t)(t>0)在轨迹M上∴
1
4
+
t2
3
=1
解得t=
3
2
,即点A的坐标为(1,
3
2
)
--(8分)
设kAE=k,则直线AE方程为:y=k(x-1)+
3
2
,代入
x2
4
+
y2
3
=1
并整理得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(
3
2
-k)2-12=0
----------------------------------(10分)
设E(xE,yE),F(xF,yF),∵点A(1,
3
2
)
在轨迹M上,
xE=
4(
3
2
-k)
2
-12
3+4k2
------③,yE=kxE+
3
2
-k
④--------------(11分)
又kAE+kAF=0得kAF=-k,将③、④式中的k代换成-k,
可得xF=
4(
3
2
+k)
2
-12
3+4k2
yF=-kxF+
3
2
+k
------------(12分)
∴直线EF的斜率KEF=
yF-yE
xF-xE
=
-k(xF+xE)+2k
xF-xE
xE+xF=
8k2-6
4k2+3
xF-xE=
24k
4k2+3

KEF=
-k•
8k2-6
4k2+3
+2k
24k
4k2+3
=
-k(8k2-6)+2k(4k2+3)
24k
=
1
2

即直线EF的斜率为定值,其值为
1
2
---(14分)
点评:本题主要考查交轨法求轨迹方程,应注意纯粹性,(2)的关键是求出直线EF的斜率的表示,通过化简确定其伟定值,考查了学生的计算能力,有一定的综合性.
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x2
4
+
y2
3
=1(x≠±2)
x2
4
+
y2
3
=1(x≠±2)

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