Question

12．已知A，B，C，D均在球O的球面上，AB=BC=1，AC=$\sqrt{3}$，若三棱锥D-ABC体积的最大值是$\frac{1}{4}$．则球O的表面积为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$π
• B． $\frac{8}{3}$π
• C． $\frac{16}{3}$π
• D． 6π

Answer 1

分析 设△ABC的外接圆的半径为r，由已知求出r=1，由已知得D到平面ABC的最大距离为$\sqrt{3}$，设球O的半径为R，则${1}^{2}=\sqrt{3}（2R-\sqrt{3}）$，由此能求出R，从而能求出球O的表面积．

解答 解：设△ABC的外接圆的半径为r，
∵AB=BC=1，AC=$\sqrt{3}$，∴∠ABC=120°，
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×1×1×sin120°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴2r=$\frac{\sqrt{3}}{sin120°}$=2，解得r=1，
∵三棱锥D-ABC体积的最大值是$\frac{1}{4}$，A，B，C，D均在球O的球面上，
∴D到平面ABC的最大距离为$\sqrt{3}$，
设球O的半径为R，则${1}^{2}=\sqrt{3}（2R-\sqrt{3}）$，
解得R=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴球O的表面积为S=4πR²=$\frac{16}{3}π$．
故选：C．

点评 本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养和球的性质的合理运用．