【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面ABB1A1为菱形且∠BAA1=60°,D,M分别为CC1和A1B的中点,A1D⊥CC1,AA1=A1D=2,BC=1.
(1)证明:直线MD∥平面ABC;
(2)求D点到平面ABC的距离.
【答案】(1)见解析; (2).
【解析】
(1)根据题意,得到共点的三条直线两两垂直,建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量与平面的法向量垂直,从而证得线面平行;
(2)利用点D与平面ABC内的一个点连线构成的向量在平面ABC的法向量上的投影的绝对值,来求得点到平面的距离.
⑴解:,且D为中点,.
,
又,,
,.
又,.
取中点F,则,即BC、BF、两两互相垂直.
以B为原点,、BF、BC分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系如图所示,
则(2,0,0),C(0,0,1),A(-1,,0),(1,,0),
(2,0,1),D(1,0,1),M(,,0),B(0,0,0),
(,,1),(-1,,0),(0,0,1),
设平面ABC的法向量为(x,y,z),
则,取,得(,1,0),
,.
又平面ABC,∴直线MD//平面ABC.
(2)由(1)知平面ABC的法向量为(,1,0),(1,0,1)
∴D到平面ABC的距离:.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为,且右焦点到右准线l的距离为1.过x轴上一点M(m,0)(m为常数,且m∈(0,2))的直线与椭圆C交于A,B两点,与l交于点P,D是弦AB的中点,直线OD与l交于点Q.
(1) 求椭圆C的标准方程.
(2) 试判断以PQ为直径的圆是否经过定点.若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
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【题目】从某校期中考试数学试卷中,抽取样本,考察成绩分布,将样本分成5组,绘成频率分布直方图,图中各小组的长方形面积之比从左至右依次为1:3:6:4:2,第一组的频数是4.
(1)求样本容量及各组对应的频率;
(2)根据频率分布直方图估计成绩的平均分和中位数(结果保留两位小数).
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【题目】[2019·龙泉驿区一中]交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,且保费与上一年车辆发生道路交通事故的情况相联系,发生交通事故的次数越多,费率也就越高,具体浮动情况如下表:
交强险浮动因素和费率浮动比率表 | ||
浮动因素 | 浮动比率 | |
上一个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮 | |
上两个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮 | |
上三个以及以上年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮 | |
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 | ||
上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 | 上浮 | |
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 | 上浮 |
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了70辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计得到了下面的表格:
类型 | ||||||
数量 | 10 | 13 | 7 | 20 | 14 | 6 |
(1)求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率;
(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损6000元,一辆非事故车盈利10000元,且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致,完成下列问题:
①若该销售商店内有7辆(车龄已满三年)该品牌二手车,某顾客欲在店内随机挑选2辆,求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率;
②若该销售商一次性购进70辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求一辆车盈利的平均值(结果用分数表示).
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【题目】如图,抛物线的顶点在原点,圆的圆心恰是抛物线的焦点.
(1)求抛物线的方程;
(2)一条直线的斜率等于2,且过抛物线焦点,它依次截抛物线和圆于、、、四点,求的值.
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【题目】(1).公路上、两镇相距5公里,、往外各有两条叉路成形状,计划在每条叉路上各建一加油站,要求每个站到、镇及其他站(沿公路进过、镇)距离互不相同,且距离均为整数公里,最长不超过15公里,此计划能否实现?
(2).若、向外各有3条叉路,欲建六个加油站,依然要求站与镇,站与站之间距离互不相同且为整数公路,最长者不超过28公里,能否实现?为什么?
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【题目】已知双曲线: 的左、右焦点分别为, 为坐标原点, 是双曲线上在第一象限内的点,直线分别交双曲线左、右支于另一点, ,且,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
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