Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）若a=-1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[f′（x）+

m

2

]（f′（x）是f（x）的导数）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（3）求证：

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…×

lnn

n

＜

1

n

（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）a=-1时，f′(x)=-

1

x

+1，由此能求出f（x）的单调增区间和单调减区间．
（2）由f′(x)=

a

x

-a，（2，f（2））点切线倾斜角为45°，求出f'（x）=-

2

x

+2，由此能求出m的取值范
（3）构造函数f（x）=x-ln（x+1），x＞1，由导数性质求出当n≥2，n＞ln（n+1），由此能证明

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…×

lnn

n

＜

1

n

（n≥2，n∈N^*）．

解答： （1）解：a=-1时，f（x）=-lnx+x-3，
∴x＞0，f′(x)=-

1

x

+1，
由f′(x)=-

1

x

+1=0，得x=1．
x＞1时，f′（x）＞0；0＜x＜1时，f′（x）＜0．
∴f（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）．
（2）解：∵f（x）=alnx-ax-3，∴f′(x)=

a

x

-a，
∵（2，f（2））点切线倾斜角为45°，
∴f'（2）=1，即

a

2

-2=1，则a=-2，f'（x）=-

2

x

+2，
则g（x）=x³+x²（-

2

x

+2+

m

2

）=x³+（2+

m

2

）x²-2x，
g'（x）=3x²+（4+m）x-2，
∵函数不单调，也就是说在（t，3）范围内，g'（x）=0有解，
∵g'（0）=-2＜0，∴当且仅当g'（t）＜0且g'（3）＞0时方程有解，
∴3t²+（4+m）t-2＜0且3×3²-3（4+m）-2＞0，
解得-

37

3

＜m＜

2

t

-3t-4，又∵t∈[1，2]，
∴-

37

3

＜m＜-9，
∴m的取值范围（-

37

3

，-9）．
（3）证明：先证明当n≥2，n∈Z时，n＞lnn
构造函数f（x）=x-ln（x+1），x＞1
则f′（x）=1-

1

x+1

=

x

x+1

，
∵x＞1，∴f′（x）＞0，
∴f（x）＞f（1）=1-ln（1+1）＞0
∴当n≥2，n∈N^*时，n＞ln（n+1），
∴

ln2

2

＜

ln2

ln3

，

ln3

3

＜

ln3

ln4

，…，

ln(n-1)

n-1

＜

ln(n-1)

lnn

，

lnn

n

＜

lnn

ln(n+1)

，
∴

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…×

lnn

n

＜

ln2

ln3

×

ln3

ln4

×

ln4

ln5

×…×

lnn

ln(n+1)

=

ln2

ln(n+1)

＜

1

n

．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质和构造法的合理运用．