Question

【题目】如图，在三棱锥 中， ,平面 平面 ， 、 分别为 、 的中点．

（1）求证： 平面 ；
（2）求证： ；
（3）求三棱锥 的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，∴DE∥BC.
∵DE平面PBC且BC平面PBC ， ∴DE∥平面PBC
（2）证明：连接PD.∵PA＝PB ， D为AB的中点，

∴PD⊥AB.
∵DE∥BC ， BC⊥AB ， ∴DE⊥AB.又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，
∴AB⊥平面PDE.
∵PE平面PDE ， ∴AB⊥PE.
（3）解：∵PD⊥AB ， 平面PAB⊥平面ABC ， 平面PAB∩平面ABC＝AB ，
∴PD⊥平面ABC ， 可得PD是三棱锥P－BEC的高．
又∵ ，
【解析】（Ⅰ）由三角形中位线定理可得DE∥BC，进而由线面平行的判定定理得到DE∥平面PBC;
（II）连接PD，由等腰三角形三线合一，可得PD⊥AB，由DE∥BC，BC⊥AB可得DE⊥AB，进而由线面垂直的判定定理得到AB⊥平面PDE，再由线面垂直的性质得到AB⊥PE；
（III）由平面与平面垂直性质定理，证出直线PD⊥平面ABC，得到PD是三棱锥P-BEC的高．再利用锥体体积公式求出三棱锥P-BEC的体积，即得答案.