Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$，满足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{10}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-5，$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+（1-x）$\overrightarrow{b}$．
（1）当$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{c}$时，求实数x的值；
（2）当|$\overrightarrow{c}$|取最小值时，求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{c}$时$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=0，列出方程求出x的值；
（2）求出x=$\frac{2}{5}$时|$\overrightarrow{c}$|取得最小值，再求此时向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角余弦值．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{10}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-5，$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+（1-x）$\overrightarrow{b}$；
当$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{c}$时，$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{b}$•[x$\overrightarrow{a}$+（1-x）$\overrightarrow{b}$]=x$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{a}$+（1-x）${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
∴-5x+5（1-x）=0，
解得x=$\frac{1}{2}$；
（2）∵${\overrightarrow{c}}^{2}$=x²${\overrightarrow{a}}^{2}$+2x（1-x）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+（1-x）²${\overrightarrow{b}}^{2}$
=10x²-10x（1-x）+5（1-x）²
=25x²-20x+5，
当x=$\frac{20}{2×25}$=$\frac{2}{5}$时，|$\overrightarrow{c}$|取得最小值，
此时$\overrightarrow{c}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\frac{2}{5}$${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{2}{5}$×10+$\frac{3}{5}$×（-5）=1，且|$\overrightarrow{c}$|=1，
∴向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角余弦值为cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{1}{\sqrt{10}×1}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了平面向量的线性运算与数量积的应用问题，也考查了求向量的模长与夹角的应用问题，是基础题目．