分析 (1)利用$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{c}$时$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=0,列出方程求出x的值;
(2)求出x=$\frac{2}{5}$时|$\overrightarrow{c}$|取得最小值,再求此时向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角余弦值.
解答 解:(1)|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{10}$,|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$,$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-5,$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+(1-x)$\overrightarrow{b}$;
当$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{c}$时,$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{b}$•[x$\overrightarrow{a}$+(1-x)$\overrightarrow{b}$]=x$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{a}$+(1-x)${\overrightarrow{b}}^{2}$=0,
∴-5x+5(1-x)=0,
解得x=$\frac{1}{2}$;
(2)∵${\overrightarrow{c}}^{2}$=x2${\overrightarrow{a}}^{2}$+2x(1-x)$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+(1-x)2${\overrightarrow{b}}^{2}$
=10x2-10x(1-x)+5(1-x)2
=25x2-20x+5,
当x=$\frac{20}{2×25}$=$\frac{2}{5}$时,|$\overrightarrow{c}$|取得最小值,
此时$\overrightarrow{c}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{b}$,
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\frac{2}{5}$${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{2}{5}$×10+$\frac{3}{5}$×(-5)=1,且|$\overrightarrow{c}$|=1,
∴向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角余弦值为cos<$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{c}$>=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{1}{\sqrt{10}×1}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$.
点评 本题考查了平面向量的线性运算与数量积的应用问题,也考查了求向量的模长与夹角的应用问题,是基础题目.
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日期 | PM2.5浓度 | 日期 | PM2.5浓度 | 日期 | PM2.5浓度 |
11-1 | 137 | 11-11 | 144 | 11-21 | 40 |
11-2 | 143 | 11-12 | 166 | 11-22 | 42 |
11-3 | 145 | 11-13 | 197 | 11-23 | 35 |
11-4 | 193 | 11-14 | 194 | 11-24 | 53 |
11-5 | 133 | 11-15 | 219 | 11-25 | 88 |
11-6 | 22 | 11-16 | 41 | 11-26 | 29 |
11-7 | 22 | 11-17 | 90 | 11-27 | 199 |
11-8 | 57 | 11-18 | 46 | 11-28 | 287 |
11-9 | 111 | 11-19 | 80 | 11-29 | 291 |
11-10 | 134 | 11-20 | 67 | 11-30 | 452 |
空气质量指数类别 | PM2.5 24小时浓度均值 | 频数 | 频率 |
优 | 0-35 | 4 | $\frac{2}{15}$ |
良 | 36-75 | 7 | $\frac{7}{30}$ |
轻度污染 | 76-115 | 4 | |
中度污染 | 116-150 | 6 | |
重度污染 | 151-250 | ||
严重污染 | 251-500 | ||
合计 | / | 30 | 1 |
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