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5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=anlog2an,求{bn}的前n项和Tn

分析 (1)根据数列的递推公式,即可求出.
(2)由(1)和条件求出bn,利用错位相减可求{bn}的前n项和Tn

解答 解:(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1
当n=1时,a1=S1=2,
∴数列的通项公式为.an=$\left\{\begin{array}{l}{2,n=1}\\{{2}^{n-1},n≥2}\end{array}\right.$,
(2)∵bn=anlog2an
∴bn=$\left\{\begin{array}{l}{2,n=1}\\{(n-1){2}^{n-1},n≥2}\end{array}\right.$,
∴Tn=2+1•2+2•22+…+(n-1)•2n-1
令Mn=1•2+2•22+…+(n-1)•2n-1
2Mn=1•22+2•23+…+(n-2)•2n-1+(n-1)•2n
两式相减可得,-Mn=2+22+23+…+2n-1-(n-1)•2n
=2n-2-(n-1)•2n=(2-n)•2n-2,
∴Mn=(n-2)•2n+2
∴Tn=(n-2)•2n+4.

点评 本题考查了数列的递推公式、前n项和公式,以及错位相减求数列的和的应用,考查了计算能力.

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