Question

已知关于x的一元二次函数f（x）=ax²-4bx+1
（1）设集合P={-1，1，2，3，4，5}和Q={-2，-1，1，2，3，4，}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

内的随机点，求函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数的概率．

Answer 1

分析：（1）分a=1，2，3，4，5 这五种情况来研究a＞0，且 

2b

a

≤1的取法共有16种，而所有的取法共有6×6=36 种，从而求得所求事件的概率．
（2）由条件可得，实验的所有结果构成的区域Q 的面积等于S_△OMN=

1

2

×8×8=32，满足条件的区域A的面积为
S_△POM=

1

2

×8×

8

3

=

32

3

，故所求的事件的概率为 P=

S△POM

S△OMN

，运算求得结果．

解答：解：（1）由题意可得a＞0，且 

2b

a

≤1，所有的取法共有6×6=36 种．
当a=1 时，b 只能取-2，-1这两个值．当a=2 时，b 只能取-2，-1，1 这三个值．
当a=3 时，b 只能取-2，-1，1 这三个值．当a=4 时，b 只能取-2，-1，1，2 这四个值．
当a=5 时，b 只能取-2，-1，1，2 这四个值．
故满足函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数的取法有 2+3+3+4+4=16种，
故所求事件的概率为

16

36

=

4

9

，故答案为：

4

9

．
（2）由条件可得，实验的所有结果构成的区域为Q={（a，b）|

a+b-8 ≤0 a ＞0 b ＞0

  }，如图所示，
该区域为一个三角形区域，其面积等于S_△OMN=

1

2

×8×8=32．
满足函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数的基本事件构成的区域为A={（a，b）|

a+b-8 ≤0 a ＞0 b ＞0 2b≤a

  }，
由

a+b-8 ≤0 b =  a 2

 求得交点的坐标为P（

16

3

，

8

3

），故区域A的面积为 S_△POM=

1

2

×8×

8

3

=

32

3

，
故所求的事件的概率为 P=

S△POM

S△OMN

=

32 3

32

=

1

3

．

点评：本题考查等可能事件的概率，二次函数的单调区间以及简单的线性规划问题，画出实验的所有结果构成的区域Q
和区域A 的图形，是解题的关键．