Question

10．若奇函数f（x）的定义域为R，且f（x+4）=f（x），当x∈（4，6]时f（x）=2^x+1，求f（x）在区间[-2，0）上的表达式．

Answer 1

分析 把关系式f（2+x）=f（2-x）变形，结合函数的周期，可得到f（-x）与f（-x）的关系，从而可确定原函数的奇偶性．

解答 解：当x∈[-2，0]时，-x∈[0，2]
∴-x+4∈[4，6]
又∵当x∈[4，6]时，f（x）=2^x+1
∴f（-x+4）=2^-x+4+1
又∵f（x+4）=f（x）
∴函数f（x）的周期为T=4
∴f（-x+4）=f（-x）
又∵函数f（x）是R上的奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∴-f（x）=2^-x+4+1
∴当x∈[-2，0]时，f（x）=-2^-x+4-1．

点评 本题综合考查函数的周期性、奇偶性，以及函数解析式的求法．要注意函数性质的灵活转化．属中档题．